A Refinement of the Ray-singer Torsion

We propose a refinement of the Ray-Singer torsion, which can be viewed as an analytic counterpart of the refined combinatorial torsion introduced by Turaev. Given a closed, oriented manifold of odd dimension with fundamental group Γ, the refined torsion is a complex valued, holomorphic function defined for representations of Γ which are close to the space of unitary representations. When the representation is unitary the absolute value of the refined torsion is equal to the Ray-Singer torsion, while its phase is determined by the η−invariant. As an application we extend and improve a result of Farber about the relationship between the absolute torsion of Farber-Turaev and the η-invariant. Résumé. Raffinement de la torsion de Ray-Singer. Nous proposons un raffinement de la torsion analytique de Ray-Singer, qui peut etre consideré comme un équivalent analytique du raffinement de la torsion combinatoire introduit par Turaev. Soit M une variété fermée et orientée de dimension impaire et de groupe fondamental Γ. La torsion analytique raffinée est une fonction holomorphe à valeurs complexes, définie pour les représentations de Γ, qui sont proches de l’espace des représentations unitaires. Dans le cas où la représentation est unitaire, la valeur absolue de la torsion analytique raffinée est égale à la torsion de Ray-Singer dès que sa phase est déterminée par invariant η. Comme application, nous généralisons et améliorons un resultat de Farber concernant la relation entre la torsion absolue de Farber-Turaev et invariant η. Version française abrégée. Soit E → M un fibré complexe plat où M est une variété fermée et orientée de dimension impaire. Pour un ensemble ouvert de connections ∇ plates et acycliques de E, qui contient toutes les connections hermitiennes et acycliques, nous proposons un raffinement de la torsion analytique de Ray-Singer T(∇). Dès que T(∇) est un nombre positive réel, T = T (∇) est dans le cas général un nombre complexe et, comme conséquence, a une phase non-triviale. Ce raffinement peut être considéré comme un équivalent analytique du raffinement du concept de la torsion combinatoire introduit par Turaev [13, 14] et développé plus tard par Farber et Turaev [9, 10]. Bien que, en général, T ne soit pas égal à la torsion de Turaev, les deux torsions sont étroitement liées. Si dimM ≡ 1 (mod 4) ou si le rang du fibré E est divisible par 4, la torsion analytique raffinée T = T (∇) est indépendente de tous les choix faits pour la définir. Si dimM ≡ 3 (mod 4), T (∇) dépend du choix d’une variété compacte et orientée N , le bord orienté de celle-ci est difféomorphe à deux copies disjointes de M , mais seulement à un facteur i (k ∈ Z) près. Si la connection ∇ est hermitienne, c’est à dire, s’ il existe une métrique hermitienne pour E qui est invariante par ∇, alors la torsion analytique raffinée T est un nombre complexe dont la valeur absolue est égale à la torsion de Ray-Singer et dont la phase est déterminée par invariant η de l’opérateur de signature. Si ∇ n’est pas hermitienne, les relations entre la torsion analytique rafffinée, la torsion de Ray-Singer et invariant η sont un peu plus compliquées, cf. §6. Une des propriétés les plus importantes de la torsion analytique raffinée est qu’elle dépend, dans un sens approprié , d’une manière holomorphe de la connection ∇. Le fait qu’il soit possible d’utiliser la torsion de Ray-Singer et invariant η pour définir une fonction holomorphe permet d’appliquer les méthodes de Supported in part by the NSF grant DMS-0204421. Supported in part by the Swiss National Science Foundation. 1